积分中值定理的改进和应用

摘要：本文在《数学分析》（华东师大版）所叙述的第一、第二积分中值定理和前人对积分中值定理所作的改进的基础上，进一步把定理中的条件进行加强，从而得到一个更精细的定理，并分别从四个方面阐述了积分中值定理的应用。
论文关键词：积分中值定理,函数,连续,单调,区间

中占有重要的地位。

一、 积分中值定理的叙述

定理：（推广的积分第一中值定理）

若函数与在闭区间上连续，且在上不变号，则在上至少存在一点，使。特别地，当g(x)=1时有

定理：（积分第二中值定理）

若函数在在区间非负单调递减，为可积函数，则存在。

定理：若在上且单调递增，为可积函数, 则存在.

定理（推论）：若在上为单调函数，为可积函数，则存在。

二、 积分中值定理的改进

将第一中值定理进行改进和加强得到：

定理：若函数在闭区间上连续，在上连续且不变号，则在内至少存在一点，使。特别地，当=1时有，

现在我们在此基础上将定理5中的条件进行加强，从而得到：

定理6：若函数在闭区间上严格单调且连续，而在上可积不变号，则在内存在唯一一点，使。特别地，当=1时有

证明：在区间中作映射T：=+，不妨设严格单调递增（严格单调递减的情况可类似证明），则< <,那么C,从而T是到自身的映。又对于，有：

因为在上严格单调递增，所以，故必存在一个数，使得成立。因此有：

=，

从而T是到自身的压缩映像，由Banach不动点原，存在唯一一点，即

从而得，定理得证。

三、 积分中值定理的应用

１. 在具有某些性质的点的存在问题中的应用

在积分学的学习过程中，有关定积分具有某些性质的点的存在问题的论证是一个难点。一般，我们应仔细观察被积函数所具有的性质，注意利用微分中值定理、积分中值定理等途径来证明有关问题。

例1 若函数在闭区间上连续，且，证明：

在内至少存在两点。

在中已用Rolle定理给出了一个证明，而本文将利用积分中值定理来证明。

分析：很明显=0在闭区间上至少存在一个根，那么我们采用反证法，即证=0在上不可能只存在唯一的一个根。利用积分中值定理推出矛盾，从而证明命题。

证明一：由，即=0至少存在一个根。

假设在内=0只有一个根，则由有：

（1）

因为与在及连续，且由假设知在及上不变号。

由定理5得：存在使得

而，于是我们得到，这与矛盾。即证在内至少存在两点。

证明二：假设在内=0只有一个根，由知f(x)在内异号。设在，而=为单调递增函数，所以

这与矛盾。

例2　设函数二次可微，且严格单调，证明：在内存在唯一的一点，使得。

在中有一个类似的例题，联想到定理6，本文的将其中的条件作减弱，将“具有二阶连续导数”改为“二次可微”，然后利用定理6给予证明。

分析：由题目的条件和结论，我们首先想到将在=处用Taylor公式展开，然后对展开式的两边在区间上同时积分，然后利用积分中值定理和定理6推出结论。

证明：令=，在=处用Taylor公式展开得：

，其中介于与之间。

即 （２）

对（２）式两边在区间上同时积分得

（3）

其中。而|ke